In questo articolo passeremo in rassegna alcuni problemi la cui risoluzione richiede l'utilizzo dei teoremi di trigonometria dimostrati le scorse settimane, distinguendo tra quelli relativi ai soli triangoli rettangoli da quelli generali validi per tutti i triangoli. Prima di iniziare tenete a mente le seguenti parole:
Risoluzione di un triangolo qualsiasi
Problema 1 (tre città su una mappa)
Consideriamo il triangolo immaginario i cui vertici corrispondono alle città di Torino, Praga e Lione.
Se conosciamo le misure dei segmenti che congiungono Torino con le altre due città e dell'angolo compreso tra questi:
Torino-Lione = 235 km Torino-Praga = 752 km α = 105°
- Quanto misura il lato Lione-Praga?
- Quanto vale l'area racchiusa dal triangolo?
Per rispondere alla prima domanda possiamo applicare il teorema del coseno:
...
...
...
Mentre per rispondere alla seconda sfruttiamo il primo teorema sull'area di un triangolo qualsiasi, per cui:
...
...
Problema 2 - (distanza Terra-Luna)
Immaginiamo di dover ricavare la distanza Terra-Luna. Se conosciamo il raggio terrestre e le coordinate di due città aventi la medesima longitudine:
Cremona punto A
Gamba punto B
...
Dalla figura si vede che il triangolo ABC è isoscele, pertanto posso dedurre che:
Ora se considero il triangolo BLC per il teorema dei seni posso scrivere [1]:
Per ricavare la distanza Terra-Luna mi basterà misurare l'angolo β2, ovvero l'angolo sotteso dalla luna rispetto alla verticale nel punto della superficie terrestre in cui mi trovo.
Risoluzione di un triangolo rettangolo
"risolvere" un triangolo rettangolo significa determinare le misure di tutti i lati e di tutti gli angoli, una volta noti 2 elementi del triangolo, fra cui almeno un lato.
casi possibili:
- 2 cateti
- 1 cateto e l'ipotenusa
- 1 cateto e un angolo acuto
- l'ipotenusa e un angolo acuto
In ciascun caso dovremo saper utilizzare a nostro vantaggio tutte le relazioni fin qui viste per trovare le incognite del problema.
Note
| [1] | l'angolo BLC lo posso ricavare impostando il sistema: |
| [1] |
per trovare l'angolo BLC in funzione di quelli noti ho risolto il sistema: ... ... sostituendo la prima espressione nella seconda trovo: ... |