α test - Matematica

statistica e probabilità

1

La media aritmetica di cinque numeri è 14. Se la media aritmetica dei primi due è 20. Allora la media aritmetica degli altri tre è:

A	B	C	D	E
8	9	10	12	14

applicando la definizione di media aritmetica possiamo tradurre in formule il testo del problema scrivendo:

...

...

...

dalle prime due possiamo ricavare:

quindi possiamo ricavare da queste la somma degli ultimi tre numeri:

e a questo punto ne troviamo la media aritmetica dividendola per 3

2

Lanciando contemporaneamente due dadi non truccati, che probabilità vi è di ottenere "nove"?:

A	B	C	D	E
1/12	1/9	1/8	1/5	1/4

per ciascuno dei 6 possibili esiti del primo lancio abbiamo 6 esiti possibili del secondo

ciò significa che le coppie di valori possibili sono 6 volte 6, ossia 36

tra queste quelle che hanno come somma 9 sono solo 4:

(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)

quindi la probabilità di ottenere 9 sarà data dal rapporto tra casi favorevoli e il totale dei casi possibili

Geometria analitica

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La circonferenza di equazione :

A	B	C	D	E
passa per il punto (0, 2)	ha centro nell'origine del sistema di assi cartesiani	passa per l'origine del sistema di assi cartesiani	ha centro sull'asse y	ha raggio uguale a 4

l'equazione di una circonferenza di centro e raggio r è:

...

...

e ponendo

...    ...    ...

otteniamo l'equazione in forma normale:

...

nel nostro caso abbiamo:

...

quindi la risposta corretta è la C

2

la retta passante per il punto (1, -1) e ortogonale alla retta di equazione 2x + y + 6 = 0 ha equazione:

A	B	C	D	E
2y-x+3 = 0	y+2x-1 = 0	2y-x-3 = 0	y-2x+1 = 0	x+y-3 = 0

la retta passante per il generico punto è data dall'equazione:

quindi nel nostro caso diventa:

se questa retta deve essere perpendicolare a quella data, che riscritta in forma normale diventa:

il suo coefficiente angolare m deve soddisfare la relazione di ortogonalità:

m(-2) = -1

da cui ricavo m = 1/2 che sostituito nella nostra equazione di partenza mi dà:

Trigonometria

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Se in un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono uguali rispettivamente a 6 cm e a 12 cm, allora l'area del triangolo è uguale a:

A	B	C	D	E

per prima cosa visualizziamo la situazione descritta dal problema:

HB = 6 cm CH = 12 cm BC = HB + CH = 18 cm

utilizzando il teorema di Pitagora sul triangolo ABC posso scrivere:

facendo lo stesso sui triangoli ACH e AHB

sottraendo tra loro le ultime due ottengo:

a questo punto posso trovare AC e AB risolvendo il sistema:

e infine troviamo l'area secondo la consueta formula:

2

siano dati due triangoli rettangoli simili. Se il primo ha cateti di lunghezza 3 e 4 cm e il secondo ha area pari al quadruplo dell'area del primo qual è la lunghezza dell'ipotenusa del secondo triangolo?

A	B	C	D	E
5 cm	10 cm	12 cm	16 cm	20 cm

se i due triangoli sono tra loro simili

ne consegue che le misure dei cateti del secondo triangolo saranno k volte quelle del triangolo di partenza

da ciò si deduce che l'area del secondo triangolo sarà:

ne consegue che k = 2

pertanto l'ipotenusa sarà il doppio dell'ipotenusa del primo triangolo:

Geometria

1

i cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente e . Quanto misura l'ipotenusa?

A	B	C	D	E
2	2	4	16

in un triangolo rettangolo, noti i due cateti, l'ipotenusa si trova applicando il teorema di Pitagora:

equazioni esponenziali e logaritmiche

1

L'equazione esponenziale ammette come soluzione:

A	B	C	D	E
-2	-1	-1/2	0	1/4

per risolverla riscriviamo la frazione al secondo membro come potenza di 5

a questo punto basterà eguagliare gli esponenti e ricavare la x

2x + 1 = -1

2x = -2

x = -1

problemi parametrici

1

L'equazione di secondo grado , con k ≠ 0, ha una soluzione uguale a –1 per:

A	B	C	D	E
-1	-1/5	1	3	nessun valore di k

applicando la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:

otteniamo:

a questo punto è forse più veloce sostituire i valori di k proposti e vedere se ne esiste uno per cui la condizione richiesta è soddisfatta!

per k = -1/5 si ottiene una soluzione uguale a -1

funzioni

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data la funzione f(x) = 3x - 6, quale delle seguenti risposte rappresenta la sua funzione inversa?

A	B	C	D	E
g(x) = x/3 - 6	g(x) = x/3 - 2	g(x) = x/3 + 2	g(x) = x/3 + 6	g(x) = -x/3 + 2

l'equazione che ci viene data è quella di una retta, che sappiamo essere invertibile perché iniettiva . Per trovare l'equazione della sua inversa procediamo scambiando tra di loro la x con la y:

x = 3y - 6

e poi esplicitiamo nuovamente la y:

3y = x + 6

y = x/3 + 2

frazioni algebriche

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semplificare la seguente espressione:

A	B	C	D	E

facendo il m.c.m dei due denominatori x(x+2) posso eseguire la sottrazione:

Radicali

1

semplificare la seguente espressione con x > 0.

A	B	C	D	E
x/4	x	64x

il primo fattore diventa:

il secondo fattore invece:

facendo il prodotto dei due ottengo: