Le origini
il numero che avrebbe meritato a partire dal Rinascimento l'altisonante appellativo di "divina proporzione" [1] e qualche secolo più tardi quello più mondano di "sezione aurea", [2] con cui è generalmente indicato ancora oggi, è stato definito la prima volta nel 300 a.C. da Euclide.
"Si dice che una retta risulta divisa in estrema e media ragione, quando tutta quanta la retta sta alla parte maggiore di essa come la parte maggiore sta a quella minore."
[Elementi Libro VI, III definizione]
Se applichiamo la definizione ad un segmento AB, il punto C che lo divide in estrema e media ragione sarà quello che soddisfa la proporzione:
... ...
tale punto può essere trovato con riga e compasso seguendo alcuni passaggi:
Il rapporto aureo, indicato con la lettera τ [3], è dato dal rapporto:
...
Per ricavarne l'espressione algebrica riscriviamo la proporzione ponendo il segmento di partenza AB = τ e AC = 1 così si avrà CB = τ - 1.
...
a questo punto, sapendo che in una proporzione il prodotto dei medi deve essere uguale a quello degli estremi avremo:
...
da cui si ottiene, eseguendo la moltiplicazione e portando tutti i termini al primo membro, un'equazione di secondo grado nell'incognita τ.
...
che risolviamo applicando la formula risolutiva delle equazioni di II grado:
... ...
Nel nostro caso delle due soluzioni l'unica ad avere un significato geometrico è quella col segno positivo. [4]
...
il valore così ottenuto, non potendo essere espresso come rapporto tra interi, vista la presenza della radice di 5 al numeratore, è un numero irrazionale. Ciò implica che i decimali di τ sono infiniti e non si ripetono mai.
il legame con la successione di Fibonacci
Nel XVII secolo l'astronomo tedesco Johannes Kepler scoprì che il rapporto tra due valori consecutivi della successione di Fibonacci
... , ... , ... ...
tende al valore della sezione aurea τ.
| n | Fn+1/Fn | τ-Fn+1/Fn |
|---|---|---|
| 0 | 1/1 = 1 | 0,6180339887498948 |
Se confrontiamo i valori ottenuti ad ogni passaggio con il valore della sezione aurea, qui riportato fino alla 16a cifra decimale:
...
vediamo che all'aumentare dell'indice n, il rapporto approssima sempre meglio il valore di τ. Arrivati a n = 20 si ottiene ad esempio un'approssimazione corretta fino alla 8a cifra decimale. Immaginando di proseguire all'infinito possiamo riscrivere la sezione aurea come il limite:
...
La dimostrazione vera e propria di questo risultato è stata ottenuta nel 1753 dal matematico scozzese Robert Simson. [5]
NOTE
| [1] | Luca Pacioli scrisse nel 1498 un intero trattato sulle proprietà di questo numero, intitolato per l'appunto "De divina proportione", in cui collegava le proprietà della sezione agli attributi divini. Ad esempio: "così come Dio non può propriamente essere definito né compreso da noi attraverso le parole, la nostra proporzione non può essere determinata attraverso alcuna quantità razionale, rimanendo sempre occulta e segreta, così da essere chiamata irrazionale dai matematici". |
| [2] | Questo termine è stato utilizzato per la prima volta nel 1835 dal matematico tedesco Martin Ohm nel testo "Die Reine Elementar-Mathematik". |
| [3] | dall'iniziale della parola greca 'τομη', che vuol dire sezione. Recentemente si è cominciato ad usare la lettera Φ al posto di τ, in onore dell'architetto greco Fidia ('Φειδίας'), che secondi alcuni ha utilizzato la proporzione aurea nella progettazione del Partenone. |
| [4] | dato che il rapporto tra due quantità positive (lunghezze di due segmenti) non può avere come risultato un numero negativo, che si otterrebbe considerando la soluzione con il segno -, dato che la radice di 5 è maggiore di 1. |
| [5] | una dimostrazione di questo risultato si può trovare al seguente link |
Bibliografia
- Frajese A. (a cura di), Gli elementi di Euclide, Torino, UTET, 1979
- Livio M., La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni , Milano, Rizzoli, 2017
- Dunlap R.A., The golden ratio and Fibonacci numbers, World Scientific, 1997.
NOTA: i link a pagine esterne sono stati controllati l'ultima volta il 13 luglio 2018