la successione di Fibonacci

Alessio Gaimarri |

il problema dei conigli

Nel XII capitolo della sua opera più famosa, il liber abaci [1], Leonardo da Pisa, detto Fibonacci [2], propone ai suoi lettori il seguente problema:

Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un'unica coppia se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?

se indichiamo con la lettera c una coppia di conigli appena nati e con C una coppia di conigli adulti, possiamo rappresentare le regole di crescita e riproduzione in questo modo:

al passaggio di ogni mese:
ogni coppia appena nata diventa adulta: c → C
ogni coppia adulta genera una nuova coppia: C → C+c

e trovare la soluzione applicandole alla coppia di conigli iniziale c.

mese Coppie di conigli totale coppie
0 c 1

la soluzione riportata nel testo, 377 coppie, coincide con il valore che troviamo in corrispondenza del 13° mese solo perché, diversamente dall'autore, siamo partiti da una coppia di conigli appena nati anziché da una coppia di adulti. [3]

Se si osserva con attenzione la successione dei totali, mese dopo mese, ci si accorge che ciascun termine dopo i primi due è dato dalla somma dei due che lo precedono.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

Leonardo, suggerendo al lettore di proseguire "per un numero infinito di mesi", definisce di fatto la successione ricorsiva oggi nota come successione di Fibonacci. [4]

... ,  ... ,  ...   ...

Nel mondo reale la crescita di una popolazione di conigli seguirà un andamento del tutto diverso da quello previsto dalla successione, che rappresenta il caso ideale di conigli che non invecchiano, in un ambiente privo di predatori o malattie e con una quantità di spazio e cibo illimitati. L'unica concessione possibile a queste fantasiose ipotesi è un ambiente privo di predatori. Se siete curiosi di vedere quali effetti possa scatenare questa situazione date un'occhiata all'isola giapponese di Ōkunoshima. [5]

NOTE

[1]dato che gli autori medievali solitamente non davano un titolo alle loro opere, il nome con cui viene indicato il libro è tratto dal suo incipit: “Incipit liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano”. La parola latina “abbacus” veniva adoperata all'epoca in riferimento al metodo di calcolo basato sul sistema numerico indo-arabico e non allo strumento di calcolo.
[2]il soprannome deriva dall’espressione latina “filius Bonacci” ed è stato coniato nel 1838 dallo storico Guillaume Libri. I contemporanei, e Leonardo stesso in alcune sue opere, adoperavano invece il termine dialettale toscano “bigollo” che voleva dire viaggiatore.
[3]
`Quante coppie di conigli saranno prodotte in un anno da una coppia. Un tale mise una coppia di conigli in un luogo che era circondato da ogni parte da una parete per sapere quante coppie da essa fossero prodotte in un anno, la loro natura essendo che ogni mese fosse prodotta un’altra coppia e che cominciassero a figliare il secondo mese dopo la nascita. Poiché la coppia soprascritta figlia il primo mese, lo stesso raddoppierai; saranno due coppie dopo un mese. Delle quali una, cioè la prima, figlierà nel secondo mese, e così nel secondo mese saranno 3 coppie. Delle quali in un mese due resteranno gravide e produrranno il terzo mese 2 coppie di conigli, e così in questo mese ci saranno 5 coppie di conigli. Delle quali 3 resteranno gravide, e nel quarto mese saranno 8 paia. Delle quali 5 produrranno altre 5 paia che aggiunte alle 8 fanno 13 nel quinto mese. Delle quali 5 coppie che furono prodotte nello stesso mese, non concepiscono in questo mese, ma le altre 8 resteranno gravide, e così nel sesto mese sono 21 coppie. Aggiunti ai quali le 13 coppie che nasceranno nel settimo, saranno nello stesso 34 coppie: aggiunte alle quali le 21 coppie che nasceranno nell’ottavo mese, saranno in esso 55 coppie. Aggiunte alle quali le 34 coppie che nasceranno nel nono mese, saranno in esso 89 coppie: aggiunte alle quali di nuovo 55 che nasceranno nel decimo, saranno in esso 144 coppie. Aggiunte alle quali di nuovo 89 coppie che nasceranno nell’undecimo mese, saranno in esso 233 coppie. Aggiunti con questi 144 coppie che nasceranno nell’ultimo mese, saranno 377 paia. E tante paia produrrà la soprascritta coppia nel luogo predetto in capo di uno anno. Puoi infatti vedere in questo margine come abbiamo operato, vale a dire come aggiungemmo il primo numero con il secondo, cioè 1 con 2, e il secondo con il terzo, e il terzo con il quarto, e il quarto con il quinto, e così via, finché aggiungemmo il decimo con l’undecimo, cioè 144 con 233, e avemmo la somma dei soprascritti conigli, cioè 377. E così puoi fare con ordine per un numero infinito di mesi.`

/ Leonardo Pisano [Liber Abaci cap. XII]
[4]una successione è detta ricorsiva, se a partire da uno o più elementi di partenza, è possibile calcolarne i successivi secondo un' espressione matematica ben definita.
[5]in Australia gli effetti della riproduzione incontrollata dei conigli sono molto meno gradevoli. Dal momento della loro introduzione, avvenuta nel 1788 ad opera dei primi coloni europei, ad oggi hanno causato danni devastanti all'ecosistema, portando sull'orlo dell'estinzione alcune specie autoctone e accelerando il processo di erosione e desertificazione del territorio.
[3]

Bibliografia

In rete

NOTA: i link a pagine esterne sono stati controllati l'ultima volta il 17 agosto 2018