Immaginate di avere 700 grammi di oro purissimo e di volerlo utilizzare per realizzare un diadema da regalare alla vostra ragazza. [1] Per farlo consegnate il prezioso lingotto a un bravo orafo che di lì a qualche giorno vi consegna un vero capolavoro. Sicuri di conquistare il cuore della vostra amata correte a casa con il prezioso regalo sottobraccio. Una volta arrivati però venite assaliti dal dubbio che lo scaltro artigiano possa avervi truffato sottraendo parte dell'oro.
Per prima cosa controllate con una bilancia che la massa della corona coincida con quella dell'oro consegnato. Anche in questo caso non si può escludere che l'orafo abbia sostituito parte dell'oro con una quantità di materiale meno prezioso, come l'argento, tale da ottenere una corona di massa uguale a quella di partenza.
Come verificare la vostra ipotesi senza dover prelevare un campione, e quindi danneggiare la corona?
Questo è il problema che Gerone, re di Siracusa, pose ad Archimede, secondo l'aneddoto riportato da Vitruvio nel "de architectura". [2] [3]
Eureka!
Leggenda vuole che la soluzione gli si presentò chiaramente quando si accorse, entrando in una vasca piena d'acqua, che
"quanta era la massa del suo corpo che vi entrava, altrettanta acqua ne usciva"
questo meccanismo gli avrebbe consentito di misurare il volume della corona senza danneggiarla, dandogli modo di appurarne la composizione.
"spinto dall'allegrezza saltò fuori dalla vasca, e nudo correndo verso casa, andava ad alta voce dicendo di aver trovato quel che cercava, mentre correndo ogni poco gridava in greco eureka eureka."
Giammaria Mazzuchelli, 1737
L'esclamazione greca εὕρηκα, [4] poi traslitterata in eureka, è diventata proverbiale per indicare la soddisfazione provata nel trovare la soluzione a un problema complesso.
Scena tratta dal film Interstellar di Christopher Nolan, 2014.
Il procedimento
Una volta trovato il metodo con cui determinare il volume della corona senza danneggiarla, Archimede si fece dare due blocchi di massa pari a quella della corona, uno d'argento e l'altro d'oro. Dal momento che l'oro ha una densità maggiore dell'argento:
...
dalla definizione di densità, come rapporto tra la massa m e il volume V occupato da un corpo, avremo che, a parità di massa, l'argento occuperà un volume maggiore dell'oro. [5]
...
...
per stabilire la composizione della corona basterà a questo punto confrontarne il volume con quello dei due blocchi di materiale puro. Le possibilità che si presentano sono due:
... "corona genuina"
... "corona contraffatta"
Le misurazioni dei volumi, eseguite 'per immersione', attraverso il procedimento così descritto:
"empì d'acqua fino all'orlo un gran vaso, e vi calò dentro la massa d'argento, onde vi versò tanta acqua, quanta era la grandezza tuffata nel vaso: indi estratta la massa, vi rifuse a misura l'acqua che vi era di meno, fino all'orlo come stava prima. Così trovò quanta era la quantità dell'acqua corrispondente al dato peso d'argento."
portarono Archimede a scoprire:
"che si era versata più acqua per la corona, che per la massa d'oro di egual peso"
e dimostrare così il furto compiuto ai danni del re. Non si conosce la sorte toccata al colpevole ma presuppongo nulla di piacevole.
Come calcolare il maltolto?
Una volta accertato il furto Archimede avrebbe potuto esprimere la frazione di argento nella corona partendo dalla disuguaglianza soddisfatta dai tre volumi misurati:
...
dato che la quantità d'argento sarà proporzionale alla differenza tra il volume della corona e quello del blocco d'oro, e che tale valore non potrà superare la differenza in volume tra i due blocchi possiamo riscriverla, per il primo principio di equivalenza delle disequazioni, [6] in questo modo:
...
...
e ottenere il valore della frazione di argento, compreso tra 0 e 1, dividendo per la differenza dei volumi dei due blocchi. [7]
...
Ma è davvero andata così?
Nonostante il procedimento descritto da Vitruvio sia in linea di principio realizzabile e logicamente corretto molti, tra cui Galileo, hanno dubitato della sua veridicità, dal momento che, come dimostrerò nella seconda parte dell'articolo, i volumi in gioco sono troppo piccoli se confrontati con le incertezze legate al metodo di misurazione 'per immersione' dei volumi.
NOTE
| [1] | nella realtà l'unica corona che potrei offrirle è questa. |
| [2] |
Archimede poi sebbene molte e varie sieno state le mirabili invenzioni, fra tutte però quella, che mostra maggior sottigliezza, è quella che dirò. Gerone innalzato alla potestà regale in Siracusa avendo per lo felice esito delle sue cose declinato di porre in un certo tempio una corona d'oro in voto agli dei immortali, la diede a fare di grossa valuta, e consegnò l’egual peso d'oro all'appaltatore. Questi al tempo stabilito presentò al Re il prescritto lavoro fatto con delicatezza, e il peso della corona parve che corrispondesse al dato; ma essendo stata fatta una 'denuncia, che ne era» stato tolto dell' oro , e mescolatovi altrettanto d'argento , ne andò in collera Gerone per essere stato burlato , nè sapendo come appurare il furto, ne richiese Archimede, perché se ne addossasse egli il pensiero. Stando egli con questa cura, andò per calò al bagno, ed ivi mentre calava nella folla, s’ accorse, che quanta era la massa del suo corpo che vi entrava, altrettanta acqua ne usciva: quindi avendo incontrato il metodo della dimostrazione di una tal cosa, non vi si fermò, ma spinto dall’allegrezza saltò fuori del labbro, e nudo correndo verso casa, andava ad alta voce dicendo di aver trovato quel che cercava, mentre correndo ogni poco gridava in greco eureca eureca. Così con quel principio d’invenzione si narra, che fece due masse di peso egua- le a quel della corona, una d'oro, l'altra d'argento; ciò fatto empì d'acqua fino all'orlo un gran vaso, e vi calò dentro la massa d'argento, onde vi versò tanta acqua, quanta era la grandezza tuffata nel vaso: indi estratta la massa, vi rifuse a misura l'acqua che vi era di meno, fino all'orlo come stava prima. Così trovò quanta era la quantità dell'acqua corrispondente al dato peso d'argento. Fatta questa esperienza, calò parimenti nel vaso pieno la massa d'oro, indi toltala, rifondendo della stessa maniera l’acqua a misura, trovò non essercene versata tanta, ma tanto meno, di quanto era minore di mole la massa d'oro eguale di peso a quella d’argento. Finalmente riempito di nuovo il vaso, tuffò nell'acqua la stessa corona, e scoprì , che si era versata più acqua per la corona, che per la massa d oro di egual peso: e così da quell'acqua di più che si era versata per la corona, e non per la massa, col calcolo trovò la quantità di argento mescolata nell'oro, e il manifesto furto dell'appaltatore. /
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| [3] | lo stesso racconto viene utilizzato da Sol (Mark Margolis) per convincere il suo allievo Max (Sean Gullette) a concedersi una pausa dalle sue ricerche nel film "π - Il teorema del delirio" di Darren Aronofsky (1998) - clip. |
| [4] | εὕρηκα perfetto del verbo εὑρίσκω «trovare», significa «ho trovato». |
| [5] | dato che aumentando il denominatore di una frazione senza modificarne il numeratore fa sì che il rapporto diminuisca. Se non siete convinti pensate a come si riduce la dimensione della vostra fetta di pizza all'aumentare del numero di ospiti con cui dovete dividerla equamente. |
| [6] | Il primo principio di equivalenza delle disequazioni afferma che aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione, uno stesso numero o una stessa espressione contenente l'incognita, otteniamo una disequazione equivalente a quella data. |
| [7] | Questa operazione è consentita dal secondo principio di equivalenza delle disequazioni, secondo il quale: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da zero (o per una stessa espressione che non possa annullarsi), si ottiene una disequazione equivalente a quella data se il numero è positivo; se invece il numero è negativo per ottenere una disequazione equivalente a quella data occorre invertire il verso della disequazione. |
| [2] |
Bibliografia
- Vitruvio, Dell'architettura, edizione del 1829 pubblicata da Carlo Amati
Filmografia
- Interstellar, regia di Christopher Nolan, 2014
- π - Il teorema del delirio (π), regia di Darren Aronofsky, 1998
NOTA: i link a pagine esterne sono stati controllati l'ultima volta il 22 luglio 2018